分治法在算法设计、电路设计和数学证明中的广泛应用

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书籍内容：

分治法不仅可以用来设计算法，在其他方面也有着广泛的应用，比如用分治的思维来设计电路，

构建数学证明等。现在我们举一些例子。

假设有1-2*名运动员参加一场网球循环赛，现在我们需要设计一个满足以下要求的比赛日程：

① 每个玩家必须和其他n-1个玩家玩一次；

② 每个选手每天只能参加一次比赛；

③循环赛共持续n-1天；

按照这个要求，可以将比赛日程设计成一个n行n-1列的表格，在表格的行和列中填入第i个选手在第i天遇到的选手，根据这个策略，可以将所有选手分成两半网球排名算法网球排名算法，n个选手的比赛日程可以由为1/2个选手设计的游戏日程决定。递归地使用这种一分为二的策略，将选手分成两半，n个选手的比赛日程制作简单，直到只剩下两个选手，这时候只要让这两个选手进行比赛就可以了。图2-12列出的方格表是8个人的，左上角和左下角的两个块分别是前一天1至4号选手和5至8号选手的比赛日程，将位置复制到右下角，将左下角小块中的数字全部按照相对位置复制到右上角，这样就安排好了1至4号选手和5至8号选手在未来4天的比赛日程。 基于这个思路，很容易将这两个游戏时间表推广到任意数量玩家的情况。一般来说，该算法可以描述如下：

void Table(int k,int **a)
{
	int n=1;
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		n*=2;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[1][i]=i;
	}
	int m=1;
	for(int s=1;s<=k;s++)
	{
		n/=2;
		for(int i=m+1;i<=2*m;i++)
		{
			for(int j=m+1;j<=2*m;j++)
			{
				a[i][j+(t-1)*m*2]=a[i-m][j+t-1*m*2-m];
				a[i][j+(t-1)*m*2-m]=a[i-m][j+(t-1)*m*2];
			}
		}
	}
	m*=2;
	
}

我的理解：

循环赛赛程的构建可以采用递归分治算法来实现，具体来说，就是将所有参赛球队按照一定的规则分成两个子集，分别构建各自的赛程，最后将两个赛程合并形成总赛程，这个过程可以递归重复，直到赛程中只剩下两支球队。

具体可以采用如下划分方法：将所有球队分成两组，每组人数相等或者相差不超过1。接下来，第一组第i支球队与第二组第i支球队进行比赛，i从1到第一组的球队数。这样就完成了一轮比赛。然后，第一组所有球队循环向一个方向移动一个位置，第二组所有球队向相反方向移动一个位置，进行新一轮比赛。重复上述步骤，直到完成n-1轮比赛，其中n为球队总数。这样就得到了一个完整的循环赛赛程。

在实现分治算法时，需要注意一些细节问题。比如，在分队时，如果球队数为奇数，则需要暂时​​将一支球队放在一边，等到下一轮再加入其中一组。在调度时，需要注意将两个子赛程中每支球队的比赛放入总赛程中的相应位置。此外，还需要妥善处理递归终止的情况。

循环赛时间表的构建是一个非常实际的算法问题，因为循环赛时间表在体育比赛、赛车比赛等中被广泛的应用。使用分治算法可以降低算法的时间复杂度，提高算法的效率。

我的代码实现：

C语言实现：

#include 
#include 
void roundRobinSchedule(int n, int** schedule) {
    if (n == 1) {
        schedule[0][0] = 0;
        return;
    }
    int** subSchedule = (int**)malloc((n / 2) * sizeof(int*));
    for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
        subSchedule[i] = (int*)malloc((n / 2 - 1) * sizeof(int));
    }
    roundRobinSchedule(n / 2, subSchedule);
    for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
        for (int j = 0; j < n - 1; j++) {
            int team1 = subSchedule[i][j % (n / 2)] + (j / (n / 2)) * (n / 2);
            int team2 = (n - 1) - subSchedule[i][j % (n / 2)] + (j / (n / 2)) * (n / 2);
            schedule[team1][i] = team2;
            schedule[team2][i] = team1;
        }
    }
    if (n % 2 == 1) {
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            schedule[n - 1][i] = i;
            schedule[i][n - 1] = n - 1 - i;
        }
    }
    for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
        free(subSchedule[i]);
    }
    free(subSchedule);
}
int main() {
    int n = 6;
    int** schedule = (int**)malloc(n * sizeof(int*));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        schedule[i] = (int*)malloc((n - 1) * sizeof(int));
    }
    roundRobinSchedule(n, schedule);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n - 1; j++) {
            printf("%d ", schedule[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        free(schedule[i]);
    }
    free(schedule);
    return 0;
}

代码解释：

这段代码和上一个实现基本一样，只是用到了动态内存分配，创建了二维数组，在主函数中我们先用 分配一个有 n 行的指针数组，然后在函数中用 分配一个有 n/2 行、（n/2-1）列的二维数组。在完成循环调度的构建之后，我们需要记住先释放申请的内存，再释放申请的内存，避免内存泄漏。

C++实现：

#include 
#include 
using namespace std;
vector> roundRobinSchedule(int n) {
    if (n == 1) {
        vector> result(1, vector(1, 0));
        return result;
    }
    vector> schedule(n, vector(n - 1));
    vector> subSchedule = roundRobinSchedule(n / 2);
    for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
        for (int j = 0; j < n - 1; j++) {
            int team1 = subSchedule[i][j % (n / 2)] + (j / (n / 2)) * (n / 2);
            int team2 = (n - 1) - subSchedule[i][j % (n / 2)] + (j / (n / 2)) * (n / 2);
            schedule[team1][i] = team2;
            schedule[team2][i] = team1;
        }
    }
    if (n % 2 == 1) {
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            schedule[n - 1][i] = i;
            schedule[i][n - 1] = n - 1 - i;
        }
    }
    return schedule;
}
int main() {
    int n = 6;
    vector> schedule = roundRobinSchedule(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n - 1; j++) {
            cout << schedule[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

代码解释：

本段代码实现了循环赛程的构建，函数采用分治算法，递归构建小的赛程，并将它们合并在一起得到最终的赛程，在实现过程中，我们使用一个二维的赛程，第一维是参赛球队，第二维是比赛轮次，在每一轮比赛中，我们用一个子赛程来记录参赛球队之间的对决情况，将赛程中的比赛结果放到总赛程中的相应位置，即可得到完整的循环赛程。

在主函数中，我们调用该函数构建一个大小为6的循环调度计划并将其打印出来。

更优化的算法：

好的，我来详细讲解一下循环移位矩阵方法和压缩算法。

循环移位矩阵法

循环移位矩阵法是将循环调度问题转化为矩阵问题的方法，通过对矩阵进行循环移位来生成调度方案。

具体实现步骤如下：

（1）构造一个大小为nxn的矩阵，所有初始值均设置为0；

（2）将1放置在矩阵的第一行第一列；

（3）按顺序填充矩阵的其余位置。填充规则如下：

a.如果当前位置在矩阵的第一行，那么下一个位置应该在矩阵最后一列的下一行。

b.如果当前位置在矩阵最后一列的下一行，那么下一个位置应该是矩阵的第一行。

c.如果当前位置不满足条件a和b，则下一个位置应该位于当前位置的右上方。

（4）根据矩阵的每一行生成相应的计划。

该算法的时间复杂度为O(n^2)，与传统的循环调度算法相同，但是可以减少循环次数，从而提高算法的效率。

压缩算法

压缩算法就是只生成需要的行或者列的算法，避免浪费时间和空间，该算法的实现思想是先使用循环调度算法生成一个完整的调度，然后只保留需要的行或者列，也就是那一列。

具体实现步骤如下：

（1）根据循环调度算法生成完整调度；

（2）如果需要生成明细表的第i行，则只保留明细表第i行的数据，其他行的数据全部删除；

（3）如果需要生成第i列的明细表，则只保留明细表第i列的数据，其他列的数据全部删除。

本算法的时间复杂度取决于循环调度算法的时间复杂度，如果原算法的时间复杂度为O(n^2)，则压缩算法的时间复杂度也为O(n^2)，该算法可以减少内存占用，避免浪费时间和空间。

总结1.关注实施问题

（1）使用分治策略解决问题时，一定要检查是否满足以下四个条件：

（2）尽量保证子问题的规模大致相同。

（3）如果可以用递归方法解决问题，尽量使用递归算法

（4）要分析递归分治算法的时间复杂度，首先必须写出它的时间复杂度。

函数的递归方程，然后利用主定理或递归树求解。

（5）利用递归算法求解问题时，需要分析其边界条件和递归方程（过程）

2、在C和C++中实现循环调度算法时，需要注意以下几点：在C中，需要手动进行内存管理，比如使用和free函数动态分配和释放内存，避免内存泄漏或者访问非法内存。在C++中，可以使用new和操作符，或者使用智能指针等RAII技术进行内存管理，使得代码更加安全简洁。在C中，数组下标从0开始，而在C++中，数组下标从1开始，索引从1开始，因此在实现算法时需要注意数组下标问题。在C++中，可以使用STL容器等方便地管理数组，而在C语言中需要手动实现插入、删除等相关操作。在C++中，可以使用类和对象的概念来封装和组织代码，使其更加模块化和可重用。在C中网球排名算法，可以使用函数和结构体来实现类似的功能。 在实现一个算法的时候，需要考虑代码的可读性和可维护性，比如给变量和函数适当命名，添加注释，遵循编程规范等，这样代码才更容易理解和修改。3、本算法和游戏的联系：

线性时间选择算法可以用来解决游戏中的一些问题。比如有些游戏需要计算排名，比如排行榜，竞技场排名等。在这些场景中，你需要快速找到某个玩家的排名，线性时间选择算法可以用来解决这个问题。我们怎么能错过农药之王呢？

具体的，可以将玩家的战斗力作为数组的值，然后通过线性时间的选择算法找到战斗力排名为k的玩家，这样就可以快速计算出某个玩家在排行榜上的位置。

此外，线性时间选择算法还可以用于解决其他游戏中的问题，例如寻找最强的敌人，寻找最优的游戏策略等。

标签： 循环比赛日程表